احتمال (آمار): چه تفاوتی بین توزیع دوتایی ، پواسون و توزیع عادی وجود دارد؟


پاسخ 1:

توزیع دوجمله یک توزیع گسسته با دو پارامتر است ، یعنی. اندازه نمونه (n) و احتمال موفقیت (p).

توزیع Poisson همچنین یک توزیع گسسته با یک پارامتر (np) است که در آن n بسیار بزرگ است و p بسیار اندک است. این ویژگی خاص دارد که میانگین آن = متغیر = np است

توزیع عادی توزیع مداوم است. دارای شکل منحنی ناقوس است.


پاسخ 2:

برای مبتدیان ، توزیعهای Binomial و Poisson توزیعهای گسسته ای هستند كه احتمالاً برای بعضی از عدد صحیح بودن احتمالهای غیرزرو را ارائه می دهند. توزیع طبیعی یک توزیع مداوم است. هر چگالی طبیعی برای همه اعداد واقعی غیر صفر است.

توزیع دوجمله ای برای مدل سازی رویدادهایی که در یک تلاش دو جمله ای اتفاق می افتند مفید است. مثالها این است که چند سر تلنگر سکه نشان می دهد ، چه تعداد بلیط قرعه کشی برنده است ، چند پزشک در طول عمل می میرد و چند صد ضربه آزاد را در یکصد تلاش انجام می دهم. اجزای مهم چنین آزمایش عبارتند از:

  • Afixednumberofrepeated,identical,independenttrials.nisusuallytheparameterchosentolabelthenumberoftrials.Everytrialresultsineitherasuccess,withprobability[math]p[/math],orafailure,withprobability[math]1p[/math].Thesemustbetheonlytwopossibleoutcomesforatrial.Therandomvariableofinterestisthetotalnumberoftrialsthatendedinasuccess.A fixed number of repeated, identical, independent trials. n is usually the parameter chosen to label the number of trials.Every trial results in either a success, with probability [math]p[/math], or a failure, with probability [math]1-p[/math]. These must be the only two possible outcomes for a trial.The random variable of interest is the total number of trials that ended in a success.

Theprobabilitymassfunctionforthebinomialdistributionisgivenby:p(x)=(nx)px(1p)nxfor[math]x=0,1,2,,n[/math]The probability mass function for the binomial distribution is given by:p(x) = \binom n x p^x (1-p)^{n-x} for [math]x=0,1,2,\ldots, n[/math]

توزیع پواسون برای مدل سازی رویدادهایی که به نظر می رسد دوباره و دوباره به روشی کاملاً تصادفی مفید هستند. به عنوان مثال ، در سال خاص چند زمین لرزه 8+ ریشتری رخ خواهد داد؟ یا چند کودک در یک روز معین در یک بیمارستان بزرگ متولد می شود؟ یا چند وب سایت در یک دقیقه معین بازدید می کند؟ فرضیات مهم برای مدل پواسون عبارتند از:

  • Therandomvariablecountsthenumberofeventsthattakeplaceinagiveninterval(usuallyoftimeorspace).Alleventstakeplaceindependentlyofallotherevents.Therateatwhicheventstakeplaceisconstantusuallydenotedλ.The random variable counts the number of events that take place in a given interval (usually of time or space).All events take place independently of all other events.The rate at which events take place is constant usually denoted \lambda.

Theprobabilitymassfunctionforthenumberofeventsthattakeplaceinanytime,t,isgivenby: [math]p(x)=eλt(λt)xx![/math]for[math]x=0,1,2,[/math]The probability mass function for the number of events that take place in anytime, t, is given by: [math]p(x) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}[/math] for [math]x = 0, 1, 2, \ldots[/math]

توزیع عادی برای مدل سازی انواع مختلفی از خواص مورد استفاده در علوم طبیعی ، علوم اجتماعی ، علوم زندگی ، مهندسی و غیره استفاده می شود. یکی از دلایلی که چنین اتفاقی در آن اتفاق می افتد ، قضیه حد اصلی است. اصولاً ، تمام خصوصیاتی که به عنوان جمع بسیاری از مشارکت کنندگان مستقل (یا وابسته به ضعیف) کوچکتر ظاهر می شوند ، توزیع عادی تقریبی را نشان می دهند ، تا زمانی که هیچ زیرمجموعه کوچکی از این مشارکت کنندگان حاکم نباشد.

Theprobabilitydensityfunctionforanormaldistributionwithmeanμandstandarddeviation[math]σ[/math]isgivenby:[math]f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2[/math]forall[math]xR[/math].The probability density function for a normal distribution with mean \mu and standard deviation [math]\sigma[/math] is given by:[math]f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}[/math] for all [math]x\in \mathbb R[/math].